印包行业知识及其工艺算法介绍（九）——电子凸轮算法

常见工艺算法——电子凸轮类

随着运动控制技术的发展，电子凸轮越来越多地运用在印刷包装行业，成为高速高精设备的必备技术。

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一、电子齿轮

我们知道，电子凸轮实际上是对主从轴位置函数关系的一种描述。为了方便理解，先了解一下电子齿轮。
电子齿轮描述了主从轴之间的位置比例关系，它的位置曲线是一条直线，斜率表示齿轮比。速度曲线是一个常数，加速度为0。
从数学角度：
这样的位置函数是一个一次方程：y=kx+b。y是从轴位置，x是主轴位置，k是齿轮比例，b是初始位置。
求一阶导数得速度方程：v=dy/dt=k。求二阶导数得加速度方程：a=dv/dt=0。

二、S曲线

S曲线一般使用7段法生成。如下图所示，上面是标准7段法S曲线，下面是位置曲线、速度曲线、加速度曲线、加加速曲线的关系。可以看到，从左到右一共7段曲线，分别是加加速段，匀加速段，减减速段，匀速段，减减速段，匀减速段，加加速段。

数学角度：
段1：加加速J=常数k，加速度a=kx+b，速度v=(1/2)×kx²+bx+c，
位置y=(1/6)×kx³+(1/2)bx²+cx+d。
段2：加加速J=0，加速度a=k，速度v=kx+b，
位置y =(1/2)*kx²+bx+c 。
……
故，S曲线是一个三次多项式。因为速度可导，所以可以保证较好的连续性。
三、电子凸轮

我们在使用描点法确定凸轮曲线时，凸轮表里的点就是关键点，显示的曲线是每两个关键点之间的插值曲线。

若想进一步提高平滑性，需保证加加速J也连续，那需要继续求导，所以需要提高位置函数的指数。
所以一般凸轮表都会提供两种插值方式：直线法和五次多项式法。
直线法适用于线性运动，五次多项式是为了提高曲线的平滑度。
那么，电子凸轮的一般位置函数表达式为：

它的一阶导数为速度函数，二阶导数为加速度函数。可将（X0，Y0），(X1，Y1）分别带入，求各项系数。
注：

1、凸轮曲线的起始点和结束点，导数为0；
2、两段曲线的连接点，导数相等。若第二段曲线是直线，导数等于直线斜率。
四、电子凸轮：主从轴位置推导

我们在实际应用中，经常需要将凸轮主从轴的位置进行相互转换。比如需要从凸轮曲线中任意位置啮合启动。又比如计算色标偏差时，是在凸轮从轴采样的位置，但又需要在主轴进行补偿，就需要得到从轴对应的主轴位置，进而计算出主轴偏差。等等。

知道主轴位置x，求从轴位置y很容易，将x带入公式即可得到y。一般都有专用的指令，或者直接用两个虚轴啮合跑一下，实验获取，都很容易。
但如果知道从轴位置y，想获取主轴位置x，难度就比较大了。五次多项式并不能直接求解，并且还有可能出现多解的情况。针对这种情况，我们一般采用迭代法获取五次多项式的解。
1、二分迭代：利用曲线的单调性，需要对凸轮曲线分段，保证每段曲线单调。然后每次先赋中间值，得到的结果再与目标值比较，选择左侧还是右侧曲线，继续迭代，直到结果与目标值的偏差满足要求。
2、牛顿迭代：利用曲线上任意点的切线与曲线无限逼近，取初值上的切线与X轴的交点，求此点对应的Y值并与目标值比较，如果偏差大于目标偏差，继续求其切线与X轴的交点，继续迭代，直到结果满足误差要求。
3、牛顿迭代结合其他迭代方法：在某些很特殊的曲线中，存在很特殊的点，使用牛顿迭代迭代法求解，结果并不收敛。所以在赋初值时，可以结合其他迭代法一起使用。

五、电子凸轮：飞剪

在飞剪应用中，一般我们需要几个输入参数：剪切长度L，裁刀周长C，刀轴同步区角度β。有如下关系：
刀轴同步区弧长=裁刀周长C×刀轴同步区角度β/360
主轴同步区弧长=刀轴同步区弧长
主轴同步区弧长=剪切长度L×主轴同步区角度α/360
主轴非同步区弧长=剪切长度L×（360-α）/360
刀轴非同步区弧长=裁刀周长C×（360-β）/360
也就是说，在非同步区内，主轴匀速转动一段弧长，刀轴同时转动另一段弧长，所以速度是一条曲线。
为了保证速度的平滑性，把关键点的位置，等效于匀加减速运动曲线上的点，满足匀加减速公式。
故：
刀轴非同步区平均速度=（360-β）/ （360-α）=（β/α+刀轴0点速度）/2
换算：刀轴0点速度=2×（360-β）/ （360-α）- β/α

已知 α=β×C/L
则 刀轴0点速度=2×（360-β）/ （360-α）- β/α=2（360-β）/（360-β×C/L）-L/C
Lim(β→0)刀轴0点速度=2-L/C
若L< 2C，则Lim(β→0)刀轴0点速度>0
若L=2C，则Lim(β→0)刀轴0点速度=0
若L>2C，则Lim(β→0)刀轴0点速度< 0，会出现负速度，刀轴会反转。
为避免出现刀轴反转的情况，在剪切长度L>2×裁刀周长C的时候，我们需要加入主轴等待区γ（如图黄色区域）。
有如下关系：
剪切长度L=主轴同步区弧长+主轴等待区弧长+主轴调整区弧长
主轴同步区弧长=剪切长度L×主轴同步区角度α/360
主轴等待区弧长=剪切长度L×主轴等待区γ/360
主轴调整区弧长=2×刀轴调整区弧长
刀轴调整区弧长=裁刀周长C-刀轴同步区弧长=裁刀周长C-主轴同步区弧长
剪切长度L/裁刀周长C=刀轴同步区角度β/主轴同步区角度α

得出：主轴等待区γ=360+主轴同步区角度α-720×（主轴同步区角度α/刀轴同步区角度β ）

！！！注意：这是未考虑同步距离的情况。若同步区占比很大，需要考虑同步距离，实际上应以（剪切长度-同步距离）>2×(裁刀周长-同步距离）作为判断条件。

剪切长度L< 2×裁刀周长C

剪切长度L>2×裁刀周长C
电子凸轮：追剪

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（下期内容：常见工艺算法——色标追踪类）

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厉害了 我的哥

终于有权限看了

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