分享：中型机的速度斜坡-计算加减速时间和距离

一、简介

中型机的速度斜坡有四种方式：梯形、sin²、二次方、二次方平滑。加减速过程与设定加速度、设定加加速度参数有关，参数不同从而影响加减速性能。

首先声明，此文全部为个人根据trace跟踪曲线仿真建模计算出，涉及到高等数学的微积分和高中数学的三角函数。纯手工计算。

二、原理

微分和积分是互为反向的过程，此次建模的主要过程就是根据确定速度函数的幂和类型，根据最低次幂的函数和设定值积分还原速度函数表达式。

1.梯形

设定加速度有效，设定加加速度无效。

速度：V(t)=V0+V'(t)*t;

加速度:V'(t)=AccSet;

加加速度：V''(t)=0;

加速度恒定为设定值，加加速度恒等于0，速度以设定加速度值为斜率变化。

2.sin²

设定加速度有效，设定加加速度无效但不为0。

速度：V(t)=V0+Asin²(Bt)

加速度：V'(t)=ABsin(2Bt)

加加速度：V''(t)=2AB²cos(2Bt)

加速度V'(t)函数恒定，加加速度V''(t)是加速度V'(t)的导函数，即设定加加速度值不生效但为其导函数，可根据当前速度和设定速度求出常数A=(V0-Vset)/2，再根据设定加速度值A*B=AccSeet求出B

3.二次方

设定加速度有效，设定加加速度有效。

速度：V(t)=Ax²+B

加速度：V'(t)=2Ax

加加速度：V''(t)=2A

加加速度V''(t)为设定值JerkSet，根据加速度的方向变化为V''(t)=±JerkSet，加速度V'(t)以加加速度V''(t)为斜率进行变化。

需要注意的是，二次方为中心对称速度曲线，按照加速度曲线来看也就是分段对称曲线，加速度变化范围0->JerkSet，JerkSet->0。

4.二次方平滑

仿真时推算二次方平滑为六阶高次多项式的分段对称函数，是的六阶，求了五次导函数才为直线，过于复杂且不常用，本人放弃推算。
三、加减速的计算和验证

1.梯形

梯形的加减速时间最为简单，速度按照设定加速度值进行变化，即时间=速度的变化值/设定加速度。
梯形的加减速距离，按照速度曲线计算为直角梯形的面积，面积在几何意义上时则为积分，即速度积分=距离。

时间：Acctime= (Vset-V0)/AccSet;

距离：AccPos = (Vset+V0)*Acctime/2;

验证结果如图：

2.sin²

sin²函数其实可看作为cosx，高中数学的三角函数转换，sin²x=(1-cos2x)/2，简化来看就是cosx，cosx=sin(x+Π/2)，整体来看其实就是sinx的函数。

速度V(t)=Asin²(Bt);

加速度V'(t)=ABsin(2Bt);

加加速度V''(t)=2AB²cos(2Bt);

可根据当前速度V0和目标速度Vset算出，A=(Vset-V0)/2，再根据AB=AccSet算出B，即可算出全部表达式，加加速度表达式与设定加加速度值无关。

加速过程中各个函数均对称，即加速过程为正弦函数的半个周期，即加速时间为半个周期，根据高中数学的三角函数周期可知，周期T=2Π/B。加速过程中走过的距离为此区间内的速度的面积，中心对称的正限面积为梯形的面积。

时间：Acctime= T / 2 = 2Π / B / 2;

距离：AccPos = (Vset+V0)*Acctime/2;

验证结果如图：

3.二次方

二次方简单说就是速度Ax²，加速度Ax，加加速度A(常数)。但是同时，二次方相对计算较为繁琐，繁琐的地方在于设定加速度值过大，或者设定加速度过小。

①设定加速度值过大，实际加速过程可能会无法到达，所以存在理论计算的最大加速度。举例设定速度为1，设定加速度1000，设定加加速度1000，若加速度从0增加至1000会导致速度超过设定速度1，所以加速度设定不合理会出现无法到达的情况。

②设定加速度值过大，实际加速度到达后，加速度无法继续增大而出现的加速度恒定，即匀加速段。举例设定速度为100，设定加速度1，设定加加速度1，加速度从0增大至1后保持恒定，中间出现匀加速段。

速度：V(t)=Ax²+B

加速度：V'(t)=2Ax

加加速度：V''(t)=2A

二次方表达式简单，但是分类较多，计算结果如下：

(1)设定加速度值可到达，无匀加速段：速度10，加速度100，加加速度1000

(2)设定加速度值不可到达：速度10，加速度4000(实际加速度值300)，加加速度1000

(3)设定加速度到达，存在匀速段：速度100，加速度200，加加速度500

4.二次方平滑

不讨论，但是还是展示下其各阶导函数的曲线，我个人表示看呆了，六阶高次多项式。

四、总结

速度斜坡的加减速时间、距离的计算过程其实就是利用加速度函数进行面积计算，只要算出了加速度的实际值，不用计算函数表达式就可以计算出时间和距离。因为速度函数对称，几何的积分为面积，所以较多的积分运算可用梯形或三角形面积计算公式替代，所以也算是取巧的计算。

其中二次方的计算涉及到匀加速段和加速值无法到达设定值的情况，所以理论加减速时间可能出现失控情况。如果对加速时间有较高的要求，可采取边界情况，即加速度和加加速度的设定保证无匀速段、刚好能够到达设定速度，那就需要将加速时间代入函数中，反算加速度和加加速度值。反算加速度和加加速度在之前有讲过，

AccSet=Vset/(Acctime/2)=2Vset/Acctime，j=AccSet/(Acctime/2)=4v/Acctime²

这方面感兴趣的可以去看一下我之前的帖子《分享：梯形、二次方速度曲线的加减速时间计算》。

另外，部分代码放到评论区，通过这个帖子希望能让大家复习下数学知识，呼吁大家多学多用，后续还会再分享一些三次曲线和五次曲线的一些计算问题。


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sin²部分代码

二次方代码

太高深了，顶！

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关键词：
- 中型机
- 速度斜坡
- 加减速时间
- 加减速距离
- 梯形
- sin²
- 二次方
- 二次方平滑
- 加速度
- 加加速度
- 积分
- 验证结果
- 总结

文章大纲：
一、简介
    - 中型机的速度斜坡类型
    - 加减速性能受参数影响
二、原理
    1. 梯形
        - 速度函数表达式
        - 加速度和加加速度的定义
    2. sin²
        - 速度函数表达式
        - 加速度和加加速度的定义
    3. 二次方
        - 速度函数表达式
        - 加速度和加加速度的定义
    4. 二次方平滑
        - 速度函数表达式
        - 限于计算复杂性，本文不涉及详细推导
三、加减速的计算和验证
    1. 梯形
        - 加减速时间的计算公式
        - 加减速距离的计算公式
        - 验证结果展示
四、总结
    - 速度斜坡计算的方法和原理
    - 对加速度和加加速度的要求和限制
    - 其他曲线的计算问题
    - 代码分享
五、免责声明

正文：
一、简介
中型机的速度斜坡有四种方式：梯形、sin²、二次方、二次方平滑。加减速过程与设定加速度、设定加加速度参数有关，参数不同从而影响加减速性能。

二、原理
中型机的速度斜坡可以通过函数表达式来描述。不同的速度斜坡类型对应不同的函数表达式。在加减速过程中，加速度和加加速度起着关键作用。

1. 梯形
梯形速度斜坡中，速度随时间线性变化。加减速过程中的速度函数可以表示为V(t)=V0+AccSet*t，其中V(t)为当前时间点的速度，V0为初始速度，AccSet为设定加速度。
在梯形速度斜坡中，加速度恒定为设定值，而加加速度为0。

2. sin²
sin²速度斜坡中，速度变化按照正弦函数的平方进行。加减速过程中的速度函数可以表示为V(t)=V0+A*sin²(Bt)，其中V(t)为当前时间点的速度，V0为初始速度，A和B为常数。
在sin²速度斜坡中，加速度的函数为V'(t)=AB*sin(2Bt)，加加速度的函数为V''(t)=2AB²*cos(2Bt)。加速度恒定，而加加速度为加速度的导函数。

3. 二次方
二次方速度斜坡中，速度的变化符合二次函数的形式。加减速过程中的速度函数可以表示为V(t)=Ax²+B，其中V(t)为当前时间点的速度，A和B为常数。
在二次方速度斜坡中，加速度的函数为V'(t)=2Ax，加加速度的函数为V''(t)=2A。加加速度恒定，而加速度以加加速度为斜率进行变化。

4. 二次方平滑
二次方平滑速度斜坡是一个六阶高次多项式的分段对称函数，其推算较为复杂，本文不涉及详细推导。

三、加减速的计算和验证
在加减速过程中，可以计算加减速时间和加减速距离来评估速度斜坡的性能。

1. 梯形
梯形速度斜坡的加减速时间可以通过计算速度变化量除以设定加速度来得到。即Acctime= (Vset-V0)/AccSet，其中Acctime为加减速时间。
梯形速度斜坡的加减速距离可以通过计算速度曲线下的面积来得到。即AccPos = (Vset+V0)*Acctime/2，其中AccPos为加减速距离。

四、总结
速度斜坡的加减速时间和加减速距离的计算过程可以通过积分来实现，根据加速度函数求解面积。不同的速度斜坡类型有不同的计算公式。
在计算二次方速度斜坡时，需要注意加速度无法达到设定值的情况，可以通过反算加速度和加加速度来解决。
本文还分享了部分代码，并呼吁大家多学多用数学知识。

五、免责声明
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通过对中型机的速度斜坡的计算和验证，我们可以更好地理解加减速时间和距离的计算方法，并对不同的速度斜坡类型有更深入的了解。同时，我们也可以应用这些知识来优化中型机的加减速性能。希望本文能为读者提供一些有用的参考和启发。
                                                                                                                                                                                                                                                 以上内容来自  AI机器人，如需继续对话，则在此回答下“点击回复” 或者 在提问时  “@机器人”！禁止 "黄赌毒及政治敏感"，违者封号，严重者 提交 网警公安部门。本站不对内容真实性负责，AI机器人有时候会乱说一通……